Системы счисления: Какие бывают системы счисления

Какие бывают системы счисления

Позиционные системы счисления

Основная статья: Позиционная система счисления

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Под позиционной системой счисления обычно понимается $b$ -ричная система счисления, которая определяется целым числом $b>1$ , называемым основанием системы счисления. Целое число без знака $x$ в $b$ -ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа $b$ :

$x = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k$ , где $a_k$ — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству $0 \leq a_k \leq (b-1)$ .

Каждая степень $b^k$ в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя $k$ (номером разряда). Обычно, в ненулевых числах $x$ , левые нули опускаются.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число $x$ записывают в виде последовательности его $b$ -ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

$x = a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0.$

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

$103 = 1 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}.$

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);
3 — троичная;
8 — восьмеричная;
10 — десятичная (используется повсеместно);
12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);
13 — тринадцатеричная;
16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике);
60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Смешанные системы счисления

Смешанная система счисления является обобщением $b$ -ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел $\{b_k\}_{k=0}^{\infty}$ , и каждое число $x$ в ней представляется как линейная комбинация:

$x = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k}b_k$ , где на коэффициенты $a_{k}$ , называемые как и прежде цифрами, накладываются некоторые ограничения.

Записью числа $x$ в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса $k$ , начиная с первого ненулевого.

В зависимости от вида $b_k$ как функции от $k$ смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными и т. п. Когда $b_k=b^k$ для некоторого $b$ , смешанная система счисления совпадает с показательной $b$ -ричной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина « $d$ дней, $h$ часов, $m$ минут, $s$ секунд» соответствует значению $d\cdot 24\cdot 60\cdot 60 + h\cdot 60\cdot 60 + m\cdot 60 + s$ секунд.

[править]Факториальная система счисления

В факториальной системе счисления основаниями являются последовательность факториалов $b_k=k!$ , и каждое натуральное число $x$ представляется в виде:

$x = \sum_{k=1}^n d_k k!$ , где $0\leq d_k \leq k$ .

Факториальная система счисления используется при декодировании перестановок списками инверсий: имея номер перестановки, можно воспроизвести её саму следующим образом: число, на единицу меньшее номера (нумерация начинается с нуля) записывается в факториальной системе счисления, при этом коэффициент при числе i! будет обозначать число инверсий для элемента i+1 в том множестве, в котором производятся перестановки (число элементов меньших i+1, но стоящих правее его в искомой перестановке)

[править]Фибоначчиева система счисления

Основная статья: Фибоначчиева система счисления

Фибоначчиева система счисления основывается на числах Фибоначчи. Каждое натуральное число $n$ в ней представляется в виде:

$n = \sum_{k} f_k F_k$ , где $F_k$ — числа Фибоначчи, $f_k\in\{0,1\}$ , при этом в коэффициентах $f_k$ есть конечное количество единиц и не встречаются две единицы подряд.

[править]Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

[править]Биномиальная система счисления

Представление, использующее биномиальные коэффициенты

$x = \sum_{k=1}^n {c_k\choose k}$ , где $0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n$ .

[править]

[править]Система счисления Штерна–Броко

Система счисления Штерна–Броко — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна–Броко.

[править]Системы счисления разных народов

[править]Единичная система счисления

По-видимому, хронологически первая система счисления каждого народа, овладевшего счётом. Натуральное число изображается путём повторения одного и того же знака (чёрточки или точки). Например, чтобы изобразить число 26, нужно провести 26 чёрточек (или сделать 26 засечек на кости, камне и т.д.). Впоследствии, ради удобства восприятия больших чисел, эти знаки группируются по три или по пять. Затем равнообъёмные группы знаков начинают заменяться каким-либо новым знаком - так возникают прообразы будущих цифр.

[править]Древнеегипетская система счисления

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. Для обозначения чисел 0, 1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷ использовались специальные цифры. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи.^[1]

[править]Вавилонская система счисления

Основная статья: Шестидесятеричная система счисления

[править]Алфавитные системы счисления

Основная статья: Алфавитная запись чисел

Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы (абджадия), евреи (см. гематрия) и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы.^[1]

[править]Еврейская система счисления

Еврейская система счисления в качестве цифр использует 22 буквы еврейского алфавита. Каждая буква имеет своё числовое значение от 1 до 400 (см. т. ж. Гематрия). Ноль отсутствует. Цифры, записанные таким образом, наиболее часто можно встретить в нумерации лет по иудейскому календарю.

[править]

[править]Римская система счисления

Основная статья: Римские цифры

Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
I обозначает 1,
V — 5,
X — 10,
L — 50,
C — 100,
D — 500,
M — 1000

Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.

На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например:

IV = 4, в то время как:
VI = 6

[править]Система счисления майя

Основная статья: Цифры майя

Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году.

Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).

Системы счисления

Страницы

Какие бывают системы счисления

Какие бывают системы счисления

[править]Факториальная система счисления

[править]Фибоначчиева система счисления

[править]Непозиционные системы счисления

[править]Биномиальная система счисления

[править]

[править]Система счисления Штерна–Броко

[править]Системы счисления разных народов

[править]Единичная система счисления

[править]Древнеегипетская система счисления

[править]Вавилонская система счисления

[править]Алфавитные системы счисления

[править]Еврейская система счисления

[править]

[править]Римская система счисления

[править]Система счисления майя

[править]

2 комментария: